Lý thuyết xử lý tín hiệu số phần 2 (7.6.5)

Tóm tắt nội dung cần hiểu:
Thuật toán:

0)

Bình luận về hình ảnh:
+ Đây là hai phổ của tín hiệu hính sin.
+ Phân tích phổ của tổng hai hình sin có tần số không trùng với các điểm lấy mẫu (thùng) của DFT. Các sơ đồ cho thấy độ lớn của DTFT là một đường liền nét và độ lớn của DTF như một âm mưu gốc khi tín hiệu được cửa sổ với một cửa sổ hình chữ nhật (a) và cửa sổ Hann (b).
1)

 Biến đổi Fourier rời rạc (DFT) là một biến đổi trực giao hữu hạn cung cấp một đại diện duy nhất của N mẫu liên tiếp $x[n],0\le n\le N-1$ của chuỗi thông qua một tập hợp N DFT hệ số $x[k],0\le k\le N-1$. $X[k]=\sum\limits_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j2\pi kn\text{ / }N}\iff x[n]=\frac{1}{N}\sum\limits_{k=0}^{N-1} x[n]e^{j2\pi kn\text{ / }N}$. (Đây chính là DFT- phép biến đổi Fourier). DFT không cung cấp bất kỳ thông tin nào về các mẫu không có sẵn của chuỗi, nghĩa là các mẫu không được sử dụng trong tính toán. Việc giải thích hoặc ý nghĩa vật lý của các hệ số DFT phụ thuộc vào các giả định mà chúng tôi đưa ra về các mẫu không có sẵn của chuỗi 2) Nếu chúng ta tạo một chuỗi tuần hoàn $\overline{x}[n] $ bằng cách lặp lại N mẫu liên tiếp, các hệ số DFT và hệ số DTFS $\overline{c_k}$ của $\overline{x}[n]$ có liên quan bởi $X[k]=N\overline{c_k}$. Do đó, DFT "coi" phân đoạn hữu hạn là một khoảng thời gian của một chuỗi định kỳ. Nếu $x[n]=x[n+N_0]$ và $N\ne N_0$, khoảng thời gian "nhìn thấy" của DFT khác với thời gian thực tế của chuỗi được phân tích. 3) Nếu $X(e^{j\Omega})$ là DTFT của toàn bộ chuỗi và $X_{N}(e^{j\Omega})$ DTFT của phân đoạn hữu hạn $x[n],0\le n\le N-1$, chúng ta có:
- DFT cung cấp các mẫu của $X_{N}(e^{j\Omega})$ tại các điểm cách đều nhau trên vòng tròn đơn vị, nghĩa là, $X[k]=X_{N}(e^{j2\pi k\text{ / }N})$. Nếu $x[n]$ có độ dài $L\le N$, thì $X(e^{j\Omega})=X_{N}(e^{j\Omega})$
- Nếu $\overline{X}[k]=X(e^{j2\pi k\text{ / }N}),0\le k\le N-1$, DFT nghịch đảo mang lại một phiên bản bí danh của $x[n]$, nghĩa là, $\overline{x}[n]=\sum_{l}x[n-lN]$ nếu ... có $L\le N$, chúng ta có $X(e^{j\Omega})=X_{N}(e^{j\Omega})$ và $x[n]=\overline{x}[n]$ 4) Phép nhân của hai DFT điểm N tương đương với phép tích chập tròn của các chuỗi điểm N tương ứng. Do tích chập tuần hoàn có liên quan đến tích chập tuyến tính, chúng ta có thể sử dụng DFT để tính toán đầu ra của bộ lọc FIR thành chuỗi đầu vào dài vô hạn. 5) DFT được sử dụng rộng rãi trong các ứng dụng thực tế để xác định nội dung tần số của tín hiệu thời gian liên tục (phân tích quang phổ), Các bước cơ bản là: ( a) lấy mẫu tín hiệu thời gian liên tục, (b) nhân với cửa sổ có độ dài hữu hạn (Hann hoặc Hamming) để giảm rò rỉ, (c) tính toán DFT của phân đoạn có cửa sổ, với phần đệm bằng 0, để có được ước tính quá mức của phổ. Độ phân giải tần số, khoảng ..., được xác định bởi độ dài L của cửa sổ. 6) Giá trị của DFT bắt nguồn từ mối quan hệ của nó với DTFT, mối quan hệ của nó với các hoạt động tích chập và tương quan và sự tồn tại của các thuật toán rất hiệu quả cho tính toán của nó. Các thuật toán này được gọi chung là thuật toán Biến đổi Fourier nhanh (FFT). FFT không phải là một biến đổi mới, nó chỉ đơn giản là một thuật toán hiệu quả để tính toán DFT. -------------------------------------------------------------------------------------- + DTFT - Biểu thị một tín hiệu định kỳ thời gian rời rạc x (t) dưới dạng tích phân của các hàm mũ phức tạp (hoặc sin) của tất cả các tần số. Hệ số tỷ lệ được ký hiệu là $\overline{X}(\omega)$. + DTFS - Biểu thị một tín hiệu định kỳ thời gian rời rạc $\overline{x}[n]$ như là một tổng hữu hạn của các số mũ phức tạp (hoặc sin) có tỷ lệ tại các sóng hài $k\text{ / }N$ của tần số cơ bản $1\text{ / }N$ của tín hiệu. Các hệ số tỷ lệ được gọi là hệ số chuỗi Fourier $\overline{c_k}$ và chính chúng tạo thành một chuỗi tuần hoàn. +Zero-padding: Việc thêm các số 0 vào một chuỗi trước khi thực hiện DFT của nó dẫn đến phổ DTFT được lấy mẫu dày đặc và là một cách tiếp cận thực tế để tái tạo DTFT. + Phân biệt giữa DFT và DTFT * DTFT (Discrete Time Fourier Transform) 1. Được sử dụng cho chuỗi hữu hạn và vô hạn. 2. Nó chỉ mang tính lý thuyết. 3. Không thể triển khai trong thực tế. 4. DFT có nguồn gốc từ DTFT. 5. Nó tuần hoàn và liên tục 6. Có kí hiệu là $X(ke^{jw})$. *DFT(Discrete Fourier Transform) Nếu chúng tôi lấy mẫu (chia) một khoảng thời gian của DTFT tại một số điểm tần số hữu hạn, chúng tôi sẽ nhận được DFT 1. Được sử dụng cho dãy hữu hạn. 2. Nó được sử dụng trong thực tế. Được sử dụng trên máy tính. 3. Không tuần hoàn và không liên tục. 4. Được kí hiệu là $X(e^{jwk})$ Bình luận để hiểu thêm: ***DTFT và DFT bạn hỏi, đúng không? tốt, cả DTFT và DFT đều dành cho tín hiệu rời rạc. nhưng, trong miền tần số, sự khác biệt cơ bản là có bao nhiêu vectơ cơ sở bạn chọn để biểu thị tín hiệu. trong DTFT, trục tần số là liên tục có nghĩa là bạn lấy các vectơ cơ sở vô hạn. trong khi ở DFT, bạn có N điểm trong miền thời gian nên bạn cũng chỉ mất N điểm trong miền tần số. điều đó có nghĩa là bạn chỉ chọn N vectơ cơ sở trực giao lẫn nhau.
đó là sự khác biệt cơ bản
cảm ơn bạn. DFT lấy một chuỗi có độ dài hữu hạn và ánh xạ nó lên một cơ sở tần số riêng biệt có độ dài hữu hạn.
DTFT có một chuỗi độ dài tùy ý (hữu hạn hoặc vô hạn) và ánh xạ nó lên một cơ sở tần số liên tục kéo dài từ 0 đến 2$]pi$
----------------------------------------------------------------------------------------------------------- Tính hợp lệ của phân tích phổ sử dụng DFT dựa trên giả định cơ bản tiềm ẩn: biên độ, tần số và pha của các thành phần hình sin của tín hiệu được phân tích không thay đổi theo thời gian trong cửa sổ phân tích. Vì việc tăng chiều dài của cửa sổ dẫn đến độ phân giải tần số tốt hơn, chúng tôi muốn sử dụng các cửa sổ dài. Tuy nhiên, có hai vấn đề lớn cấm sử dụng các cửa sổ rất dài trong các ứng dụng thực tế. Đầu tiên, chờ đợi để thu thập tất cả các mẫu cần thiết giới thiệu độ trễ dài và yêu cầu tính toán các DFT lớn. Thứ hai, nội dung tần số của lời nói, radar, sonar và các tín hiệu thực tế khác thay đổi theo thời gian. Do đó, độ dài của cửa sổ phải đủ ngắn để đảm bảo rằng nội dung quang phổ không thay đổi đáng kể trong cửa sổ cho các mục đích thực tế. Nếu nội dung phổ thay đổi đáng kể bên trong cửa sổ phân tích, DFT sẽ cung cấp kết quả phân tích tần số sai. Một giải pháp thực tế hợp lý cho những vấn đề này là chia tín hiệu dài thành các phân đoạn nhỏ và phân tích từng tín hiệu bằng DFT. Để chính thức hóa phương pháp này, chúng tôi xác định DFT phụ thuộc thời gian hoặc DFT thời gian ngắn của tín hiệu x[n] bằng $X[k,n]=\sum\limits_{m=0}^{L-1}w[m]x[n+m]e^{-j(2\pi k\text{ / }N)m}$ trong đó L là độ dài của cửa sổ w[n] và k=0,1,2,....,N-1. Phương trình này có một cách hiểu đơn giản: tập hợp các số $X[k,n],0\le k\le N-1$ là DFT điểm N của một đoạn cửa sổ của $x[m]$ bắt đầu từ $m=n$ và kết thúc tại $m=n+L-1$ Cửa sổ được cố định trong khoảng từ $m=0$ đến $m=L-1$. Khi chỉ số thay đổi n thay đổi, tín hiệu x [n + m] trượt và cửa sổ trích xuất một phân đoạn tín hiệu khác để phân tích. Về cơ bản, với mỗi giá trị của n, chúng tôi trích xuất một phân đoạn cửa sổ của tín hiệu ... và chúng tôi đánh giá phổ "cục bộ".